Аналитическая геометрия Кривые второго порядка. Гипербола

Кривые второго порядка. Гипербола.  

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами

.  

y  M(x, y)  b  r1  r2  x  F1 a F2  c  По определению ïr1r2ï= 2aF1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

 

 

 

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда: обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось) =

Получили каноническое уравнение гиперболы. Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.  Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

 

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

  Определение. Отношение называется  эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.  С учетом того, что с2 – а2 = b2:

 Если а = b, e, то гипербола называется равнобочной (равносторонней)

. Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

 Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

 

 Доказательство. Изобразим схематично гиперболу

 

y  a/e d   M(x, y)   r1  0 a F1 x OF1 = c  Из очевидных геометрических соотношений можно записать: a/e + d = x, следовательно d = xa/e. (xc)2 + y2 = r2  Из канонического уравнения: , с учетом b2 = c2a2: Тогда т.к. с/a = e, то r = exa. Итого: . Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.  

Пример Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Парабола Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус