Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:
F(x, y, z) = 0.
Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.
Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.
Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.
Тогда пару уравнений
назовем уравнением линии в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
Возьмем произвольную прямую и вектор
(m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор
называется направляющим вектором прямой.
На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z).
Обозначим радиус- векторы этих точек как
и
, очевидно, что
-
=
.
Т.к. векторы
и
коллинеарны, то верно соотношение
=
t, где t – некоторый параметр.
Итого, можно записать:
=
+
t.
Параметрическое уравнение прямой Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой
Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Линейное (векторное) пространство
Матрицы линейных преобразований
Матрицы и определители Пусть дана таблица из 4 чисел
Это матрица . Она имеет две строки и два столбца, т.е. размер матрицы (2х2).
Пример: Вычислим определитель матрицы
Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка и доказываются так же: непосредственной проверкой. Решение: Разложим определитель по первой строке Пример : Найти у из системы уравнений
Действия над матрицами и линейные преобразования С матрицами можно производить операции сложения и вычитания, если их размеры совпадают. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц.
Пример : Доказать, что произведение матрицы А на единичную матрицу Е, равно самой матрице А.
Нахождение обратной матрицы Для квадратных матриц любого порядка А можно найти так называемую обратную матрицу А-1, удовлетворяющую условию А·А-1 = А-1·А = Е
Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени
Например, решим матричным способом систему
Как вы понимаете, если мы возьмем систему трех уравнений с тремя неизвестными или n уравнений с n неизвестными, то формулы останутся те же:
![]()
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А =
.
Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х1, х2) = 27
.
Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.