Аналитическая геометрия Уравнение линии в пространстве

  Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0.

 Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

 Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

  Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

  Тогда пару уравнений

назовем уравнением линии в пространстве.

 Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

  Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.

  На прямой возьмем две произвольные точки М₀(x₀, y₀, z₀) и M(x, y, z).

 

 

 

 Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что -  = .

Т.к. векторы и   коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр.

 Итого, можно записать: =  + t.

Параметрическое уравнение прямой Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой

 Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

Угол между плоскостями.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве

Линейное (векторное) пространство

Свойства линейных пространств

Примеры

Матрицы линейных преобразований

Матрицы и определители Пусть дана таблица из 4 чисел Это матрица . Она имеет две строки и два столбца, т.е. размер матрицы (2х2).

Пример: Вычислим определитель матрицы Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка и доказываются так же: непосредственной проверкой. Решение: Разложим определитель по первой строке Пример : Найти у из системы уравнений

Действия над матрицами и линейные преобразования С матрицами можно производить операции сложения и вычитания, если их размеры совпадают. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц.

Пример : Доказать, что произведение матрицы А на единичную матрицу Е, равно самой матрице А.

Нахождение обратной матрицы Для квадратных матриц любого порядка А можно найти так называемую обратную матрицу А^-1, удовлетворяющую условию А·А^-1 = А^-1·А = Е

Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени

Например, решим матричным способом систему

Как вы понимаете, если мы возьмем систему трех уравнений с тремя неизвестными или n уравнений с n неизвестными, то формулы останутся те же:

Примеры

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

Рассмотрим частный случай.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Пример

Квадратичные формы

Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х₁, х₂) = 27.

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.