Физика Магнитное поле соленоида Контур с током в неоднородном магнитном поле Сила Лоренца Эффект Холла Магнитные свойства атомов Парамагнетики Классификация магнетиков Основы электронной теории магнетизма

Физика курс лекций

Электромагнитные колебания.

Электрический колебательный контур. Формула Томсона.

Электромагнитные колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность L и емкость C (рис.16.1). Такая цепь называется колебательным контуром. Возбудить колебания в таком контуре можно, например, предварительно зарядив конденсатор от внешнего источника напряжения, соединить его затем с катушкой индуктивности.

Рис.16.1. Электрический колебательный контур.

Поскольку внешнее напряжение к контуру не приложено, сумма падений напряжений на емкости и индуктивности должна быть равна нулю в любой момент времени:

откуда, учитывая, что сила тока , получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний электрического заряда в колебательном контуре 

.

 Если ввести обозначение

 ,

 то полученное уравнение принимает вид:

.

Решением этого уравнения, как известно, является функция

.

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω0, называемой собственной частотой колебательного контура. Период колебаний определяется по формуле Томсона (Thomson W., 1824-1907):

Напряжение на конденсаторе:

,

где  - амплитуда напряжения.

Сила тока в контуре:

.

Сопоставляя полученные выражения, видим, что когда напряжение на конденсаторе, а значит энергия электрического поля, обращается в нуль, сила тока, а, следовательно, энергия магнитного поля, достигает максимального значения (рис.16.2). Таким образом, электрические колебания в контуре сопровождаются  взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Рис.16.2. Графики изменения UC(t) и I(t) в LC-контуре.

Амплитуды тока Im и напряжения Um связаны между собой очевидным соотношением:

.

5.2. Свободные затухающие колебания. Добротность колебательного контура.

Всякий реальный колебательный контур обладает сопротивлением (рис.16.3). Энергия электрических колебаний в таком контуре постепенно расходуется на нагревание сопротивления, переходя в джоулево тепло, вследствие чего колебания затухают.

Рис.16.3. Колебательный RLC-контур.

Уравнение свободных затухающих колебаний можно получить, исходя из того, что в отсутствии внешнего источника напряжения, сумма падений напряжений на индуктивности, емкости и сопротивлении равна нулю для любого момента времени:

 

или, поскольку,

.

Введя обозначение

 ,

этому уравнению можно придать вид:

,

где .

Решение полученного уравнения имеет вид:

 


где

 


Мы видим, что частота свободных затухающих колебаний ω′ меньше собственной частоты ω0. Подставив значения ω0 и β, получим:

Амплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора q0(t) уменьшается со временем по экспоненциальному закону (рис.16.4). Коэффициент β называется коэффициентом затухания.

Рис.16.4. Изменение заряда конденсатора со временем в RLC-контуре.

Затухание колебаний принято характеризовать декрементом колебаний λ, определяемым как:

.

Легко видеть, что декремент колебаний обратен по величине числу колебаний Ne, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз: λ=1/Ne. Добротностью колебательного контура называется величина:

Из этой формулы видно, что добротность тем выше, чем меньше коэффициент затухания β. При малых затуханиях (λ<<1) можно приближенно считать, что

.

Амплитуда тока в контуре, как и заряд на конденсаторе, убывает со временем по закону . Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды тока (или квадрату напряжения на конденсаторе). Следовательно, W убывает со временем по закону e-2βt. Относительное уменьшение энергии за период колебания Т (при малом затухании) есть:

.

Таким образом, потери энергии в колебательном контуре тем меньше, чем выше его добротность.


Резонансные явления в колебательном контуре