Примеры решения задач по математике Дифференциал функции Исследование функции на экстремум Интегральное исчисление Определенный интеграл Интегрирование по частям Вычисление объемов тел Производная по направлению Кратные интегралы

Первообразная функция.

  Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

 

  Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

 

Неопределенный интеграл.

 

  Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

  Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

  Свойства:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

6.     

 

Пример:

 

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

 Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

 

 

  Интеграл

  Значение

  Интеграл

  Значение

1

  -ln½cosx½+C

9

  ex + C

2

  ln½sinx½+ C

10

  sinx + C

3

 

11

  -cosx + C

4

 

12

  tgx + C

5

13

  -ctgx + C

6

ln

14

  arcsin + C

7

15

8

 

16

 

Методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Интегрирование элементарных дробей Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Интегрирование рациональных функций Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.


Геометрические и физические приложения кратных интегралов