Кратные интегралы.
Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Двойные интегралы.
Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой
f(x, y) = 0.
y
Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.
С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.
Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dхi, а по оси у – на Dуi. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.
Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = Dxi × Dyi .
В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму
где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.
Если бесконечно увеличивать количество частичных областей Di, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.
Определение:
Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел
называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.
С учетом того, что Si = Dxi × Dyi получаем:
В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.
Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:
Условия существования двойного интеграла.
Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то
двойной интеграл существует.
Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна
в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл
существует.
Свойства двойного интеграла.
1)
2)
3) Если D = D1 + D2, то
4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.
5)
Если f(x, y) ³ 0 в области D, то
.
6)
Если f1(x, y) £ f2(x, y), то .
7)
.