Кратные интегралы.

  Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Двойные интегралы.

  Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0.

 y

  Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

  С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

  Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dх_i, а по оси у – на Dу_i. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S_i = Dx_i × Dy_i .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х_i, y_i) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

  Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D_i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S_i стремится к нулю.

 Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы  имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

  С учетом того, что S_i = Dx_i × Dy_i получаем:

  В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

 Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р_i, то, считая все площади S_i одинаковыми, получаем формулу:

Условия существования двойного интеграла.

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

  Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл  существует.

  Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл  существует.

Свойства двойного интеграла.

1)

2)

3)  Если D = D₁ + D₂, то

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

5)  Если f(x, y) ³ 0 в области D, то  .

6) Если f₁(x, y) £ f₂(x, y), то .

7)  .