Примеры решения задач по математике Дифференциал функции Исследование функции на экстремум Интегральное исчисление Определенный интеграл Интегрирование по частям Вычисление объемов тел Производная по направлению Кратные интегралы

Кратные интегралы.

  Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Двойные интегралы.

 

  Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0.

 

 y

 

 

 

 

 

  Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

  С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

  Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dхi, а по оси у – на Dуi. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = Dxi × Dyi .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

  Если бесконечно увеличивать количество частичных областей Di, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.

 Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы  имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

 

 

  С учетом того, что Si = Dxi × Dyi получаем:

 

 

  В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

 Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:

 

 

Условия существования двойного интеграла.

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

 

  Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл  существует.

 

 

  Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл  существует.

 

Свойства двойного интеграла.

 

1)

 

2)

 

3)  Если D = D1 + D2, то

 

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

 

 

5)  Если f(x, y) ³ 0 в области D, то  .

 

6) Если f1(x, y) £ f2(x, y), то .

 

7)  .


Геометрические и физические приложения кратных интегралов