Примеры решения задач по математике Дифференциал функции Исследование функции на экстремум Интегральное исчисление Определенный интеграл Интегрирование по частям Вычисление объемов тел Производная по направлению Кратные интегралы

Геометрические и физические приложения кратных интегралов. 

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

 

 y

  y = j(x)

 

 

  S

 

  Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4;

x + y – 2 = 0.

  Построим графики заданных функций:

 

  Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от  до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

 

 

  2) Вычисление площадей в полярных координатах.

 

 

 

  3) Вычисление объемов тел.

  Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y),

а с боков – цилиндрической поверхностью.

Такое тело называется цилиндроид.

 z

 

  z = f(x, y)

 

 

 

 

 

  V =

 

  Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1;

x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

  Пределы интегрирования: по оси ОХ:

  по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;

 

 4) Вычисление площади кривой поверхности.

Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:

 

Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = j(x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

 

 

5)Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.

Пусть площадь плоской фигуры (область D) ограничена линией, уравнение которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам:

 

- относительно оси Ох:

- относительно оси Оу:

- относительно начала координат:  - этот момент инерции называют еще полярным моментом инерции.

 

  6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.

Координаты центра тяжести находятся по формулам:

 

здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydxмасса элемента площади)

  7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.

Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:

при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 – постоянные.

  8) Координаты центра тяжести тела.

 

 

  9) Моменты инерции тела относительно осей координат.

 

 

  10) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.

 

 

  11) Момент инерции тела относительно начала координат.

 

 

  В приведенных выше формулах п.п. 8 – 11 r – область вычисления интеграла по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема

-         в декартовых координатах: dv = dxdydz;

-         в циллиндрических координатах: dv = rdzdjdq;

-         в сферических координатах: dv = r2sinjdrdjdq.

 

12) Вычисление массы неоднородного тела.

 

Теперь плотность w – величина переменная.


Геометрические и физические приложения кратных интегралов