Решение задач по физике Затухающие колебания Вынужденные колебания Интерференция света Дифракция света Поляризация света Криволинейное движение Васко мебель

Решение задач по физике

Затухающие колебания.

 У реального осциллятора всегда есть потери колебательной энергии. Поэтому свободные колебания будут затухающими (не гармоническими). В частности, учет сил вязкого трения (Fc = r×) для механического осциллятора или сопротивления электрических контуров (U = RI = R) приводит к дифференциальному уравнению типа:

  , (4.1)

где b – новая константа называемая коэффициентом затухания, w0 – собственная частота осциллятора в отсутствии затухания. Вид решения этого уравнения как раз и зависит от соотношения констант w0 и b, а их значения определяются параметрами конкретной колебательной системы.

1) Для случая b < w0 (малое затухание) его решением является функция:

, (4.2)

где  - частота затухающих колебаний. Как видим колебания осциллятора напоминают гармонические, но с постепенно убывающей по экспоненциальному закону амплитудой. Для описания этого убывания принято использовать следующие величины:

Переходные процессы в электрических сетях Понятие переходного процесса При изучении предыдущего материала рассматривались установившиеся режимы работы электрических цепей с сосредоточенными параметрами, т.е. режимы, которые устанавливаются в цепи при неизменных напряжении, токе, сопротивлении и др.

a) Время релаксации амплитуды tA – время уменьшения амплитуды колебаний в e раз.

, откуда tA = 1/b. (4.3)

б) Количество колебаний, за которое амплитуда уменьшится в e раз Ne :

. (4.4)

в) Логарифмический декремент затухания g – логарифм отношения амплитуд двух последовательных колебаний:

 . (4.5)

Свойства и строение жидкостей. Жидкое состояние занимает промежуточное положение между газами и твердыми телами. В расположении частиц жидкости наблюдается так называемый ближний порядок. Это означает, что по отношению к любой частице расположение ближайших к ней соседей является упорядоченным. Однако по мере удаления от данной частицы порядок в расположении частиц довольно быстро исчезает.

г) Добротность колебательной системы Q:

  . (4.6)

Можно показать, что при bT << 1 добротность 

  , (4.7)

где – W(t) запасенная осциллятором энергия, DW(t,T) - потери энергии за период колебаний.


2) Большое затухание реализуется при b > w0. Решение уравнения (4.1) имеет в этом случае вид:

,  (4.8)

где  , , А и В – константы, зависящие от начальных условий. Графически эта функция представлена на рис.4.1. Очевидно, такой процесс уже не является колебательным. Его принято называть релаксацией.

3) Наконец, случай b  = w0 соответствует “критическому режиму”, при котором релаксация происходит по закону:

  (4.9)

Потенциальная энергия:

упругодеформированного тела (работа Епот = А = k х2/2 ;

упругой силы)

гравитационного взаимодействия двух тел Епот = -G m1m2/r ;

тела в однородном поле тяготения Епот = mgh .

Кинетическая энергия поступательного Екин = mv2/2 = P2/2m

движения тела

Момент инерции материальной точки J = mr2

массой m на расстоянии r от оси вращения

Моменты инерции некоторых тел массы m

относительно оси вращения проходящей

через центр тяжести:

полого цилиндра (колеса) радиуса R J = m R2;

сплошного цилиндра (диска ) радиуса R J = mR2/2;

шара радиуса R J = 0.4 mR2;

стержня длиной l, если ось ^ стержню J = ml2/12;

тела относительно произвольной оси - J = J0 + md2.

(теорема Штейнера)

Момент силы относительно оси вращения М = [ r F ]

Момент количества движения L = Jw

Основное уравнение динамики вращательного M = d L/dt = d(Jw)/dt

движения твердого тела

то же для J = const M = J dw/dt = Je

Закон сохранения момента количества å Jiwi = const

движения i

Задача В условиях предыдущей задачи определить параметры затухающих колебаний в системе: а) время релаксации амплитуды (tA); б) количество колебаний, за которое амплитуда уменьшится в e раз (Ne); в) логарифмический декремент затухания g ;

Таким образом оказалось, что добротность равна числу колебаний осциллятора, за которое амплитуда уменьшается в 23 раза.

Задача При какой величине коэффициента вязкости r в устройстве, рассмотренном в задачах 4.1-4.3, реализуется критический режим. Определить зависимость смещения от времени в критическом режиме, если в начальный момент времени телу в положении равновесия сообщают скорость V0 = 1 м/с.

В представленных выше задачах (4.1 – 4.6) затухание колебаний обусловлено наличием вязкого трения. Колебания в системе с “сухим трением” рассмотрим на примере следующей задачи.


Найти действующее значение тока